Z przyjemnością informujemy, że Rada Naukowa IPPT PAN nadała mgr. inż. Sławomirowi Białeckiemu stopień doktora w dziedzinie nauk inżynieryjno-technicznych, w dyscyplinie inżynieria mechaniczna.
Zdj. nr 1 - dr inż. Sławomir Białecki; Zdj. nr 2, od lewej - prof. Grzegorz Karch z Uniwersytetu Warszawskiego, dr inż. Sławomir Białecki, prof. Maria Ekiel-Jeżewska z IPPT PAN, prof. Zbigniew Peradzyński, prof. Bogdan Kaźmierczak z IPPT PAN – promotor pracy
Tytuł pracy doktorskiej to: "Wave propagation analysis in biological systems".
Rozprawa, realizowana pod opieką promotora prof. Bogdana Kaźmierczaka z IPPT PAN jest oparta na sześciu pracach [1], [2], [3], [4], [5], [6], które ukazały się w latach 2014-2020. Celem tych artykułów było zbadanie modeli matematycznych pewnych zjawisk biologicznych, które próbuje się przedstawić jako procesy quasi-oscylacyjne lub propagację fal biegnących. Podstawowymi narzędziami matematycznymi w opisie analizowanych zjawisk są układy równań różniczkowych cząstkowych lub pojedyncze równania, tzw. równania reakcji-dyfuzji.
Zjawiska oscylacyjne były rozpatrywane na przykładzie czasoprzestrzennej ewolucji stężenia jonów wapniowych zachodzącej wewnątrz komórek eukariotycznych. Zjawiska te związane są z zależną od czasu wymianą jonów wapnia pomiędzy różnymi kompartmentami komórkowymi. Były one rozpatrywane w artykule A . Ich analiza opierała się na symulacjach numerycznych w ramach zaproponowanego przez nas rozszerzonego przestrzennie modelu skonstruowanego na bazie modelu cało-kompartmentowego opisywanego układem zwyczajnych równań różniczkowych pierwotnie wprowadzonego w pracy [Marhl, M. i in. Complex calcium oscillations and the role of mitochondria and cytosolic proteins. Biosystems 57, 75–86 (2000)]. Model Marhla dotyczy symulacji oscylacji stężenia wapnia uśrednionego po poszczególnych kompartmentach komórki eukariotycznej. W modelu przestrzennym ewolucja stężenia wapnia w punkcie zależy od jego położenia w kompartmencie. Jednak dla dużych wartości współczynnika dyfuzji przebiegi czasowe stężenia wapnia w różnych punktach kompartmentu przestają się od siebie różnić i stają się podobne do odpowiadającym im przebiegów w modelu cało-kompartmentowym. Z kolei, dla malejących wartości współczynników dyfuzji przebiegi te stają się coraz bardziej chaotyczne, zanim zupełnie znikną dla odpowiednio małego współczynnika dyfuzji. Równania różniczkowe cząstkowe opisujące wspomniane wyżej buforowane układy wapniowe są przykładami równań reakcji-dyfuzji, które są jednym z głównych narzędzi biologii matematycznej. Jedną z podstawowych klas rozwiązań takich układów są fale biegnące [Volpert, A. I., Volpert, V. A. & Volpert, V. A. Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems (American Mathematical Society,1994)]. Są one ważne z tego względu, że mogą opisywać procesy propagacji sygnałów biologicznych. Najczęściej zjawiska takie są w przybliżeniu modelowane przez quasi-jednowymiarowy opis odpowiadający falom płaskim. To założenie redukuje wiele trudności technicznych związanych z matematyczną analizą tych procesów. Często jednak przybliżenie takie jest zbyt upraszczające. Jest tak w przypadku procesów zachodzących na powierzchniach zakrzywionych np. na błonie komórkowej analizowanych w publikacjach [2], [3], [5]. W pracach tych rozpatrzona została transdukcja sygnałów biologicznych jako propagacja fali biegnącej po powierzchni membrany komórkowej. Fala taka może powodować aktywację komórek (albo ich dezaktywację). Przykładami takich zjawisk są w szczególności procesy aktywacji komórek układu odpornościowego (limfocytów typu B) zachodzące na ich błonach, omawiane w przytoczonych pracach oraz zawartych w nich referencjach. Stosując uproszczony model opisywany przez skalarne równanie reakcji dyfuzji z przedziałami liniowym członem źródłowym w postaci McKeana potrafimy scharakteryzować procesy aktywacji na membranie komórkowej opisywanej (po odpowiednim skalowaniu) przez dwuwymiarową sferę jednostkową.
W pracy [2], zostało znalezione niestabilne stacjonarne rozwiązanie powyższego równania mające własność separatrysy pomiędzy dwoma zbiorami warunków początkowych, które propagują się odpowiednio do jednorodnego stanu aktywnego albo do jednorodnego stanu nieaktywnego na błonie komórkowej. Uzyskany rezultat jest, naszym zdaniem, bardzo interesujący z matematycznego punktu widzenia, ponieważ separatrysa została znaleziona w postaci analitycznej. Ma także znaczenie poznawcze, gdyż pozwala stwierdzić istnienie minimalnego obszaru stymulacji początkowej zapewniającego aktywację całej komórki.
W pracy [3] analizowane jest równanie zależne od czasu, którego stacjonarny odpowiednik został przeanalizowany w [2]. Zawiera ona techniczne przygotowanie do analizy istnienia i własności rozwiązań typu “mild solutions” będących przedmiotem trzeciego artykułu [5] . W pracy [3] , przy założeniu istnienia słabych rozwiązań, pokazujemy między innymi, że rozwiązanie należące do klasy C0([0, T], L2((0, π))) należy jednocześnie do klasy C1,βx,t([0, π] × [0, T]) dla β ∈ (0, 1/4) tzn. C1 jest gładkie ze względu na współrzędną przestrzenną i ciągłe Hölderowsko ze względu na zmienną czasową z wykładnikiem β w przedziale (0, 1/4). W artykule [5] kontynuujemy badanie zjawiska propagacji fal na kuli dla wspomnianego wyżej modelu aktywacji komórek biologicznych. Na wstępie pokazujemy istnienie i jednoznaczność rozwiązań typu mild solutions dla liniowego parabolicznego problemu początkowo - brzegowego z odpowiednio zadaną funkcją źródłową f(x, t), zakładając, że rozwiązania te są dane przez rozwinięcie w szereg wielomianów Legendre’a. Aby scharakteryzować gładkość rozwiązań, znajdujemy jednostajne oszacowania na współczynniki tego rozwinięcia względem zmiennej przestrzennej x. Istotną trudnością w tej analizie jest nieciągłość względem zmiennej przestrzennej x wyrazu źródłowego implikowana przez własności funkcji McKeana w pierwotnej wersji równania i uniemożliwiającą wykorzystanie standardowych twierdzeń do uzyskania dowodu istnienia, jedyności i gładkości rozwiązań. Dowód ten w ogólności w przypadku nieliniowym otrzymujemy następnie stosując zmodyfikowaną metodę kolejnych przybliżeń oraz twierdzenie o istnieniu rozwiązań dla przypadku liniowego. Skonstruowane rozwiązania są klasy C2,1 wszędzie poza punktem odpowiadającym nieciągłości wyrazu źródłowego. Następnie konstruujemy parę zależnych od czasu super- i sub-rozwiązań, które imitują monotoniczne profile frontów fal biegnących wzdłuż południków z pewną prędkością. W oparciu o skonstruowaną wcześniej metodę dowodu dowodzimy istnienia rozwiązania, które ma charakter fali biegnącej poruszającej się z prędkością zależną od czasu i położenia na kuli. Ten rodzaj analizy pozwala stwierdzić, że warunki początkowe są dobrze określone i jeśli są większe niż wartość stanu progowego, rozwiązanie propaguje się w czasie w kierunku jednorodnego stanu ustalonego o większej wartości. Jeśli natomiast warunki początkowe są mniejsze niż warunek progowy, to rozwiązanie zbiega się do zerowego stanu ustalonego. Wartości stanu progowego są zadane przez niestabilne rozwiązanie stacjonarne znalezione w pracy [2] .
Publikacje [4] i [6] poświęcone są analizie wpływu geometrii trójwymiarowych obszarów na propagację fal biegnących wewnątrz ich objętości [4] bądź też po ich powierzchni [6]. W pracy D proponujemy między innymi model polaryzacji trójwymiarowych kanałów na skutek zatrzymywania się frontów fal biegnących (wewnątrz kanałów) w sąsiedztwie wklęsłych fragmentów powierzchni ich brzegu, w miejscu ich rozszerzającego się przekroju. Powstanie zjawiska stacjonarnego i stabilnego czoła fali biegnącej chcemy właśnie interpretować jako modelowy mechanizm łączący kształt brzegu obszaru z polaryzacją jego wnętrza. Jak wykazaliśmy numerycznie, można w ten sposób wygenerować złożone konfiguracje polaryzacyjne na zbiorach opisujących różnorodne obiekty biologiczne. Zaproponowany model wyróżnia się istotnie na tle innych mechanizmów tworzenia się wzorców przestrzennych (pattern formation). W przeciwieństwie do nich, np. mechanizmu opartego na bifurkacji Turinga, opisany jest bowiem pojedynczym równaniem typu reakcji-dyfuzji. Co więcej, powiązanie polaryzacji z geometrią obszaru, czyni go doskonałym narzędziem opisu zjawisk polaryzacyjno-segmentacyjnych w trakcie procesów morfogenezy organizmów biologicznych. W pracy [5] udowadniamy, że podobne zjawiska mogą charakteryzować propagację fal biegnących na hiperpowierzchniach dwuwymiarowych. Pokazujemy w niej, że heterokliniczny front fali biegnącej, rozchodzący się po dwuwymiarowym brzegu trójwymiarowego obszaru może zatrzymywać się na jego wklęsłych kawałkach wzdłuż linii odpowiadających stałej krzywiźnie geodezyjnej. Zjawisko to możemy uważać za jeden z możliwych mechanizmów polaryzacji hiperpowierzchni w procesach dających się opisać równaniami typu reakcji dyfuzji. Co więcej, polaryzacja brzegu może implikować polaryzację całego obszaru trójwymiarowego. Praca uzupełniona jest teoretyczną analizą warunków stabilności tego rodzaju rozwiązań w zależności od lokalnych własności geometrycznych rozpatrywanej hiperpowierzchni. Teoretyczne rezultaty zawarte w obu pracach mają charakter asymptotyczny, gdyż zakładają one zaniedbywalną grubość frontu falowego (tzn. szerokość, na której wartość opisywanej wielkości zmienia się efektywnie między swoimi wartościami stacjonarnymi), tak aby (asymptotycznie) mógł on być utożsamiony z hiperpowierzchnią (w przypadku 3D) lub linią (w przypadku fal na powierzchni 2D). Nakłada to pewne warunki na występujące w rozpatrywanym równaniu parametry i funkcje. W szczególności odnosi się to do małości współczynnika dyfuzji oraz do postaci funkcji źródłowej. Przedstawione w pracy symulacje numeryczne dowodzą jednak, że opisane efekty polaryzacyjne mają miejsce w stosunkowo szerokim zakresie wartości parametrów i mogą być spełnione w przypadku wielu zjawisk biologicznych.
Bibliografia
1. Calcium Oscillations in a Spatially Extended Three Compartment Cell Model, Białecki S, Kaźmierczak B, Proceedings of the XX National Conference Applications of Mathematics in Biology and Medicine,Łochów, September 23-27,ISBN: 978-83-932893-1-8, pp. 15-20, (2014),https://www.mimuw.edu.pl/~kkzmbm/sprawozdania/sprawozdania/spr20/cale/bialecki.pdf, accessed 10.01.2025.
2. Stationary Waves on the Sphere Białecki S, Kaźmierczak B, Tsai J-C SIAM J. APPL. MATH., 75, 4, 1761-1788 (2015), DOI: 10.1137/140999384
3. Regularity of solutions to a reaction-diffusion equation on the sphere: the Legendre series approach, Białecki S, Kazmierczak , Nowicka D, Tsai J-C, MATHEMATICAL METHODS IN THE APPLIED SCIENCES 40, 14, 5349-5369 (2017), DOI: 10.1002/mma.4390
4. Polarization of concave domains by traveling wave pinning, Białecki S, Kaźmierczak B., Lipniacki T, PLOS ONE 12, 12, e0190372-1-10 (2017), DOI: 10.1371/journal.pone.0190372
5. The propagation phenomenon of solutions of a parabolic problem on the sphere, Kaźmierczak B, Tsai J-C, Białecki S, Mathematical Models and Methods in the Applied Sciences 28, 10, 2001-2067 (2018), DOI: 10.1142/S0218202518500483
6. Traveling and standing fronts on curved surfaces, Białecki S, Nałęcz-Jawecki P, Kaźmierczak B, Lipniacki T, Physica D 401, 132215 (2020), DOI: 10.1016/j.physd.2019.132215
